Factorización:

Caso III: Trinomio cuadrado perfecto

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad ósea cuando es el producto de dos factores iguales así 4ª, es cuadrado perfecto por que es el cuadrado de 2ª en efecto (2ª)² es igual por 2a= 2a=4 a²

Regla para conocer si es un trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio coordenado en relación con una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercero termino son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto

Se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. Él binomio así formado es la raíz cuadrada del trimonio se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado.

Ejemplos:

1.- m²+2m+1

      2(m) (1)=2m

2.- 4x²-20xy+25y²

     2(2x) (5y)=20xy

Ejercicios:

1.- a²-2ab+b²
     a             b
     2(a)(b)=2ab =(a-b) ²


2.- a²+2ab+b²
     a             b
     2(a)(b)=2ab =(a+b) ²


3.-x²-2x+1
     x         1
     2(x)(1)=2x =(x-1) ²


4.- y⁴+1+2y²
     y²          1
     2(y²)(1)=2y² = (x-1) ²


5.- a²-10a+2
     a            5
     2(a)(5)=10ª =(a-5) ²


6.- 9-6x+x²
     3        x
     2(3)(x)=6x =(3-x) ²



7.- 16+40x²+25x⁴
      4              5²
      2(4)(5x²)=40x² =(4+5²)²


8.- 49a²-14a+1
      a               1
      2(7a)(1)=14a =(7a+1) ²


9.- 36+12m²+m⁴
      6              m²
      2(6)(m²)=12m² =(6+m²)²


10.- 1-2a³+a⁶
        1         a³
       2(1)(a)=2a³ =(1-a³)²


11.- a⁸+18a⁴+81
        a⁴              9
       2(a⁴)(9)= 18a⁴ =(a⁴-81) ²


12.- a⁶-2a³b³+b⁶
       a³              b³
       2(a)(b³)=2a³b³ =(a³-b³)²


13.- 4x²+12xy+9y²
       2x               3y
       2(2x)(3y)=12xy =(2x+9y) ²


14.- 9b²-30a²b+25a⁴
        3b                5a²
        2(3b)(5a²)=30ba²b =(3b-5a²)²


15.- 1+14x²y+49x⁴y²
        1                     y
        2(1)(7x²y)=14x²y =(1+7x²y) ²


16.- a¹⁰-2a⁵+1

         a⁵           1
       2(a⁵)(1)=2a⁵ =(a⁵-1)²

17.- 49m⁶-70am³n²+25a²n⁴
         7m³                     5an²
        2(7m)(5an²)=70man² =(7m-5an²)²

18.-100x¹⁰-60a⁴x⁵y⁶+9a⁸y¹²
        10x⁵                      3a⁴y⁶
        2(10x⁵)(3a⁴y⁶)=60a⁴x⁵y⁶ =(10x⁵-3a⁴y⁶)²

19.-121+198x⁶+81x¹²
        11              9x⁶
        2(11)(9x⁶)=198x⁶ =(11+9x⁶)²


20.-a²-24am²x²+144m⁴x⁴
        a                   12m²x²
       2(a)(12m²x²)=24m²x² =(a-12m²x²)²


21.- 16-104x²+169x⁴
         4               13x²
         2(4)(13x²)=104x² =(4-13x²)²

22.- 400x¹⁰+40x⁵+1
         20x⁵              1
        2(20x⁵)(1)=40x⁵ = (20x⁵+1) ²

23.- a²/4-ab+b²
        a/2         b
        2/1(a/2)(b/1)=ab =(a/2-b) ²


24.- 1+2b/3+b²/9
        1 b/            3
        2(1/1)(b/3)=2b/3 =(1+b/3) ²


25.- a⁴-a²b²+b⁴/4
        a²            b² /2
       2/1(a²/1)(b²/2)=a²b² =(a²-b²/2) ²


26.- 25x⁴/36-x²/3+1/25


27.- 16x⁶-2x³y²+y⁴/16
         4x³               y²/4
         2/1(4x³/1)(y²/4)=2x³y² =(4x³-y²/4) ²


28.- n²/9+2mn+9m²
        n/3             3m
         2/1(n/3)(3m/1)=2mn =(n/3+3m) ²


29.- a²+2a(a+b)(a+b) ²
        a                   (a+b)
        2(a)(a+b)=2a(a+b) =[a+(ab)] ²


30.- 4-4(1-a)+(1-a)²
        2              (1-a)
        2(2)(1-a)=4(1-a) =[2-(1-a)] ²

31.- 4m²-4m(n-m)+(n-m) ²
       2m                     (n-m)
       2(2m)(n-m) =(2m-(n-m)] ²


32.-(m-n) ²+6(m-n)+9
       (m-n)                  3
       2(m-n)3=6(m-n) =[(m-n)+3] ²

33.-(a+x) ²-2(a+x)(x+y)+(x+y) ²
        (a+x)                          (x+y)
       2(a+x)(x+y)=2(a+x)(x+y) =[(a+x)-(x+y)] ²


34.-(m+n) ²-2(a-m)(m+n)+(a-m) ²
        (m+n)                            (a-m)
       2(m+n)(a-m)=2(m+n)(a-m) =[(m+n)-(a-m)] ²


35.-4(1+a) ²-4(1+a)(b-1)+(b-1) ²
       2(1+a)                          (b-1)
       2(2)(1+a)(b-1)=4(1+a)(b-1) =[2(1+a)(b-1)] ²


36.- 9(x-y)²+12(x-y)(x+y)+4(x+y) ²
       3(x-y)                           2(x+y)
       2(3)(x-y)(2)(x+y)=12(x-y)(x+y) =[3(x-y)2(x+y)] ²