Productos notables: 

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. La frase Producto Notable, en Matemáticas, se refiere al resultado de una multiplicación (producto) que se hace con mucha frecuencia (notable).
En Álgebra tenemos varios productos notables, como por ejemplo la multiplicación un binomio cualquiera por sí mismo, o lo que es lo mismo, el elevar al cuadrado un binomio cualquiera.

Casos de productos notables:

1.- Binomio al Cuadrado (x ± 2)² de la Suma o de la Diferencia de 2 Cantidades
Regla:
El Cuadrado del 1er Termino: (x) = x²
± el Doble del 1er Termino por el 2do Termino: (2x) (2) = ± 4x
+ el Cuadrado del 2do Termino: (2)² = 4
Resultado: (x ± 2)² = x² ± 4x + 4

2.- Producto de la Suma por la Diferencia de 2 Cantidades o Binomios Conjugados
(x - 3) (x + 3) = x² - 9 

3.- Binomio al Cubo:(x + 2)³ 
Regla: 
El Cubo del 1er termino; (x) = x³ 
+ el triple del cuadrado del 1er termino por el 2do termino = (3x²)(2) = 6x² 
+ el triple del 1er termino por el cuadrado del 2do termino = (3x)(2)² = 12x
+ el cubo del 2do termino (2)³ =
Resultado: (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8 

4.-El Cubo de la Diferencia de 2 Cantidades (x - 2)³ 
Regla: 
El cubo del 1er termino; (x) = x³ 
- el triple del cuadrado del 1er termino por el 2do termino = (3x²)(2) = 6x² 
+ el triple del 1er termino por el cuadrado del 2do termino = (3x)(2)² = 12x
- el cubo del 2do termino (2)³ =
Resultado: (x - 2)³ = x³ - 6x² + 12x - 8

5.- Producto de 2 Binomios de la Forma (x + a)(x + b)
(x + 7) (x - 2)
Regla:
El Producto de los 1ros Términos de cada Binomio (x)(x) = x²
x * x = x²
El Producto del 2do Termino del 1er Binomio por el 1er Termino del 2do Binomio [(7*x) = 7x] ± el Producto del 2do termino del 2do Binomio por el 1er Termino del 1er Binomio

[(-2 *x)] = -2x
(7x – 2x) = 5x
El Producto de los 2dos Términos de ambos Binomios
[7 * (-2)] = -14
Resultado: (x + 7) (x - 2) = x² + 5x – 14.

5 aplicaciones de productos notables en la vida cotidiana.

·        - Calcular intensidades en circuitos eléctricos.

·       -  Punto de torsión en estructuras.

·      -   Numero de individuos en un algoritmo genético.

·        - En todas las aéreas de la ingeniería.

·      -   Obtener superficies de terreno.

¿Qué es la factorización?

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra. El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar factorizar entonces

Quiere decir identifica los factores comunes a todos los términos y agruparlos. Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.

Casos de factorización y regla:

➀ Factorar un Monomio:

En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término
15ab = 3 * 5 a b


➁ Factor Común Monomio:

En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términos
Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común
a² + 2a = a ( a + 2 )

➂ Factor Común Polinomio:
x [ a + b ] + m [ a + b ]

En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio
x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )

➃ Factor Común por Agrupación de Términos:
En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo
ax + bx + ay + by = 
[ax + bx] + [ay + by]
Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio
[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) 
Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio
x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)

➄ Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²

Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:
☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino 
Factorar: m² + 6m + 9

m² + 6m + 9 
↓…………..↓
m..............3

➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término
[ m ] y [ 3 ] 


➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado

(m + 3)² 

Nota: 
Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)² 

➌ Ahora aplica la Regla del TCP

(m + 3)² 

El Cuadrado del 1er Termino = m²

[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m

[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9 

➍ Junta los Términos

m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla

➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b)
De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo)
a² - b² = (a - b) (a + b)
4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)

➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:
Factorar (a + b)² - c²
(a + b)² - c² 

Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)
[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis 
(a + b + c) (a + b – c)

➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + c

Factorar x² + 7x + 12
➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio 

(x.......) (x.......)

➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12

4 + 3 = 7

4 x 3 = 12

➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis

(x + 4)(x + 3)

Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3) 

➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + c

Factorar 6x² - x – 2 = 0

Pasos: 

➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación
6x² - x – 2
36x² - [ 6 ] x – 12

➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente

(6x.......) (6x.......)

➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]

➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ] 

- 4 + 3 = - 1

[ - 4] [ 3 ] = - 12

➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis

(6x - 4) (6x - 3)

➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos

(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)

Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2)

➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³
Suma de Cubos:

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b) 
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ] 
[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]
Diferencia de Cubos:
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b) 


El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ] 
[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ] 


5 aplicaciones de factorización en la vida cotidiana.

·      Los recibos de los servicios públicos te cobran según una simple ecuación que para desarrollarla se utiliza varios casos de factorización.

·      Es en criminalista, cuando se quiere saber cuando falleció una persona se utiliza una formula matemática, que para desarrollarla implica varios casos de factorización.

·      La luz fue diseñada mediante factorización

·      La PC fue diseñada mediante factorización

·      En medicina.